場の量子論 矛盾

相対性理論の有名な式E=mc^2の式は質量に対して十分なエネルギーがあれば粒子を生成できることが可能であるということ。しかしシュレディンガー方程式は粒子数を変更したり新しい粒子を追加することができない。

素粒子物理学は3つの相互作用を説明してる。すべての力はスピン1の粒子ゲージボソンによって電磁気力、弱い力、強い力が説明される。重力はスピン2の粒子のグラビトンによって伝えられる。(そういえば知らないですけど一般相対性理論にもスピノルが出てきますよね。これから勉強しますが)

電磁気力

電磁場を表す対称性の群はU(1)で単一の生成子が存在するので単一の粒子によって媒介されることがわかります。電磁気力は光子の交換に起因します。スピンは1で2つの偏極をもつんですがそれは一般的に質量を持たなくスピン1なら2つしか偏極を持たない。

みたいな。で、電磁場の届く範囲が無限なことは相対論と量子論を使って説明できます。アインシュタインの⊿E=mc^2、ハイゼンベルグの不確定性定理⊿t=h/⊿E=h/mc^2なので時間⊿tの間に運動する範囲を見積もれて⊿x=h/mcでm→0と光子はなるので⊿x→∞となります。このように力が及ぶ範囲はこう求められます(弱い力はそのゲージボソンの質量がそこそこ大きいのでかなり制約されます。でもこの議論は質量を持たない強い力のゲージボソングルーオンには適応できません。なぜなら強い力はより複雑で閉じ込めと呼ばれる概念を含んでます。強い力のチャージは色荷を持つからです。色荷は色を持つ粒子間だけの特別な性質を持ち、近づけば強い力は自由粒子のように振る舞い、遠ざかれば引き戻そうと力が働きます(まるでゴム紐ですね)閉じ込めの結果グルーオンクォーク間の相互作用を媒介することに関与してます。弱い力のゲージボソンと強い力のグルーオンの生成子は特殊ユニタリ群の次元と一致してます。ラグランジアンが変換で(局所)不変の時に対称性が存在しますがゲージボソンがユニタリ行列の対称性に関係してます。

他にも離散対称性が量子力学では重要で、パリティ、荷電共役、時間反転があります。シュレディンガー方程式は原点対称、x→-xの変換で同じ固有値を取りますので、線形従属よりφ(x)=aφ(-x)となりますがまた同じ変換をするとa^2=1なのでa=1 or -1となります。これをパリティといいます(パリティ演算子はPφ(x)=φ(-x)と定義されます。ハミルトニアンパリティと可換なのでパリティは保存されハミルトニアンが状態の時間発展を決めるためパリティパリティαを持つ状態はパリティ−αを持つ状態には時間発展できません。φ(x)=φ(-x)の時偶数パリティ、φ(-x)=-φ(x)の時奇数パリティと呼びます。この状態は時間発展で絶対に変わりません。フェルミオンパリティは決まっててスピン1/2なら正のパリティなので電子とクォークは共に+1のぱ、スピン1/2の反粒子ら負のパリティ、例えば陽電子がそうです。スピンが0かつ正のパリティスカラーといいスカラーの例はヒッグスボソンです。ベクトルボソンはスピン1で負のパリティを持つ粒子のことで光子が重要な例です。重要なことですがパリティは電磁相互作用と強い力で保存して弱い力では保存しません。これがいわゆるパリティ対称性の破れですね。他の離散対称性には荷電共役があります。粒子を反粒子に変換する演算子Cを定義します。これも固有値が±1です。これも弱い力では保存しません。

さて、荷電共役とパリティが個別に弱い相互作用によって破れています。なのでマイナス×マイナスの理論で逆に弱い相互作用では同時に変換したCP対称性が保存することが期待されますが(ランダウの主張)クローニンとフィッチの実験によりK中間子において僅かに対称性が敗れることがわかりました。これをCP対称性の破れといい小林益川理論によって宇宙において反物質がほとんどないことを説明できるきっかけとなる理論になりました。中性K中間子|K>はその反粒子と線形結合状態の中で観測されるという性質を持っているので自然に反粒子に遷移したり、その逆の変化が起きたりします。両方共負のパリティを持つのでP|K>=-|K>、P|K※>=-|K※>でC|K>=|K※>、C|K※>=|K>なのでCPはCP|K>=-|K※>なので|K>はCPの固有状態で無いことがわかります。これを破れてることを確認するために新たな固有状態を作ります。|K1> =|K>-|K※>/√2、|K2>=|K>+|K※>/√2と定義してみるとCP|K1>=|K1>、CP|K2>=-|K2>となります。(このK1とK2っていう状態は実験室で作れるみたいです。)で、K中間子は2つのπ中間子か3つのπ中間子に崩壊することができて2つのπ中間子ならCP=1、3つのπ中間子ならCP=-1となります。もしCP対称性が存在するならばK1は2つのπ中間子、K2は3つのπ中間子のみになるはずですがK2は実は2つのπ中間子に崩壊します!このためCP=-1→CP=1の遷移が起こります。

じゃあここまで対称性が破れていたら完全な離散対称性なんてないんじゃないの?と思われるかもしれませんがそうではありません。実はCPT対称性は破れてないのです。Tとは時間反転のことでこの事実はCPT定理と呼ばれています。運動量と角運動量を負にする変換で反ユニタリかつ反線形です。

超対称性の理論を使えば真空の無限大を除ける。正規積、くりこみ