トーリック多様体

トーリック(Toric)多様体は組合せ論と代数幾何の圏の間の深い関係性を示唆するものです。数学と物理学、両面から重要視される貴重なクラスです。物理ではミラー対称性、シンプレクティックトーリック多様体。数学では代数幾何での一番いい実験場所としてそれとそれ自身の興味深い性質として重要視されています。

定義1.アフィン代数群

アフィン多様体に自身から定義される正則写像(regular map)から定義される群構造V×V→Vを持ってる時アフィン代数群と言います。

例2.アファイン代数群で一番この話題と関係が深いのが(C※)^n(これは乗法群ですね)≅C^n-V(x1…xn)≅V(1-x1…xn)⊂C^n+1でこの群は座標ごとの積で定義されます。

代数的トーラスTは代数群でC※のあるn個の直積と同型になるもののことです。

指標χm ;TN→C※ χm(t1…tn)=t1^i1…tn^in m∈(i1…in)∈Z^n=M

1パラメーター部分群λ^u;C※→TN t→(t^b1…t^bn) u=(b1…bn)∈Z^n=N  

トーリック多様体とは代数的トーラスをザリスキー開集合として含みT×V→Vの群演算を持つものです。

例3.トーリック多様体の自明な例はC^nです。Pもそうですね。

ここまで聞いても大体の方はトーリック多様体の面白さがわからないと思います。実はこの抽象的な対称が具体的な線形代数で定義される図形「扇」と圏が同型なんですね。扇を定義するために錐を定義します。

定義.3 錐

N⊗R