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非可換類体論とは

ブログの記事にある今や数論の中心に位置する一大プロジェクト保型形式とゼータ関数の不思議な関係、非可換類体論についてわかったことをまとめます。まだまだ整数論初心者なので逆に非可換類体論について教えてくれる人は教えてください。

1.類体論とは?

類体論はある人に言わせれば「数論の一つの頂き」と言われます。とても美しい調和の取れた理論として有名で高木・Artinによって1920年頃一応解決されました。元のモチベーションはGaussの平方剰余の定理まで遡ります。類体論は簡単に言えば素イデアルの分岐を調べる理論でそれを代数方程式として(具体的に)解釈すると立法剰余の法則や相互法則が出てきます。しかし「ガロア群が可換」の場合しか示されてないんですね。その意味では人類はまだ類体論を攻略してません。

 

2.志村谷山予想とは?

フェルマーの最終定理と関係する予想(定理)として有名な志村谷山予想がありますがそれは実は2次元の非可換類体論だと考えることができます。

まず正則保型形式というものを考えるのですが、保型形式の定義はこのブログで先にしてるはずなのでそこを参照してください。関数が上半平面に定義されて正則かつフーリエ級数f(q)=Σanq^nを持つものを正則保型形式と言いますが、これのL関数をΣan/n^nと定義します。

一方楕円曲線を観察してmodpでの解…例えばy^2=x^3+1における解の個数をn(p)と定義をしてみます。すると…qΠ(1-q^6n)^4のp次の係数がp-n(p)となります。楕円曲線という全く関係ない対象と保型形式(今の仰々しい式は保型形式です。)の中に不思議な対応があります。この関係はアイヒラーによって見つけられました。(この関係式は悪い素数を除いて成り立ちます。)

これを数学的に定式化すると、楕円関数のゼータ関数が必要になってきます。これは二次元のゼータ関数

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こういう式になります。この保型形式のL関数の一致と楕円関数のゼータ関数の一致がとどのつまり志村谷山予想です。ゼータ関数が志村谷山予想に使われたのは「楕円関数の解の係数を持つ保型形式」と言っても調べようが無いから、わかりやすく、ゼータ関数を使ってるのでは無いでしょうか?(詳細はわかりません

3.表現論とは

結論から言うと現代数論ではゼータ関数が重要なものでいかにしてゼータという対象に帰着できるかにかかってます。志村谷山予想もそうですが問題をゼータに直してわかりやすくしています。ということは古典的な類体論ゼータ関数にまとめられるのではないか?という考えが思い浮かんでも不思議では無いでしょう。その等式を作るのがここで言う表現論の役割です。

ここで古典類体論を統一的なゼータ関数や表現論的なperspectiveで考えてみたいと思います。まずQ上の整数論を考えてみます。ここで言う表現とは指標のことです。指標とは群から体への写像のことでここでは単位的な指標のみを扱うこととします。Qの最大アーベル拡大のガロア群をG→K(これはKの単数群)だとしたらこれを一次元ガロア表現と言います(単数群はその体の自己同型写像)。有理数体はQの最大アーベル拡大はクロネッカーウェイバーの定理によってQ(μ)の集合と同型と考えれます。そのQ(μN)は(Z/N)の単数群の集合と同型(円分体の基本定理)。なので最大アーベル拡大は整数環の副有限完備化の単数群と同型ですが、整数環に定義される指標といえばディリクレ指標なのでこの関係式は「ガロア群の表現とディリクレ指標の一対一対応」と考えることができます。詳しく言うとΠ1/1−(a/p)p=Σλ(n)/n^nが二次体のガロア表現と保型表現の対応になるみたいです。

 類体論の骨組みは代数体上アーベル拡大のガロア群がイデール類群と同型になるような写像を作れるということでした。(イデールはアデールの可逆元の集合でアデールはある体のp進付値で完備化したものをぜんぶくっつけたものです。よくわからないならZに対するRみたいなもので(イメージは全然違いますが任意の体に(位相的に見てZとRの関係性に似たような関係を持つ)体を定義したようなものです。)とにかくデカイ体だということを認識してくれたら大丈夫です。物理的にも重要な環らしいです。通常)。アデール群の一般線形群が保型表現では重要になりますが1次元の場合はイデール群となりラングランズ予想で出て来るアデールの一般線形群と一次元類体論と整合がつきます。通常のイデール群はQの可逆元の集合、Zの副有限完備化の可逆元の集合、R>0の可逆元の集合に直積分解でき、類体論の基本定理はイデール群のQとR>0の可逆元の剰余群(イデール類群)に最大アーベル拡大は同型だという主張のことです。イデール類群のCの可逆元のへの指標の集合をヘッケ指標だと言い、これがさっき注意したZの副有限完備化の単数群の集合を経由する場合にはディリクレ指標になります。

l進ガロア群の重要さは古典的アーベル拡大の理論から来てるのだと思います。自然にl進数に射影できるし

4.ラングランズ予想とは

Langlands予想とは簡単に言えば「n次の良いEuler積は全てGLnの保型L関数である。という予想であって、ここで良いとは全s平面に有理型に解析接続できてs⇔1-sという型の関数等式をもつこと」らしい(数論Ⅱより)。このGL群はアデール上の一般線形群のことを指すのだと思います。の保型形式論では行列群の整数係数部分群、所謂モジュラー群が重要になって来るんですが、ラングランズ予想は一般の体係数の行列群をそのモジュラー群と見てアデール上の保型形式を考えること、そのアデール係数行列群からの右正則表現の部分表現のことらしいです。(どんな部分表現かは理解してません。英語のpdfでも探してみてください。

 一方ガロア表現の定義はK を体とし,GK を K の絶対 Galois 群E を 複素数体 C,p進体(Qp の有限次拡大、有限体のいずれかとし、V を体 E 上の有限 次元ベクトル空間として、K の Galois 表現とは,連続準同形 ρ: Gal(K/K) −→ GL(V ) のことです。

 そしてなぜ志村谷山予想がラングランズプログラムの一部かというと楕円曲線Eのl分点の群E[l]をQの絶対ガロア群の表現として考えて保形形式と結びつけて考えたからみたいです。これは僕の考察ですがKを標数pの体としてE→Eの自己同型写像を整数Nに対してN倍写像と定義されていているのでl^n分点アーベル群を逆極限とった加群がTate加群ってことなのかな?おそらくだけど楕円曲線は「いい素数」だけを見たくて、そのいい素数の集合で考えるのが便利との発想でl進数で考えてるのかな?

5.非可換類体論とは

予想ですけど多分楕円曲線ガロア群が得られてmodpの解をモジュラー関数の係数(母関数だと)見たのと同じように、最小多項式をモジュラー関数の係数だと考えればmodpでイデアルの分岐の様子がわかるのが非可換類体論だということじゃないでしょうか?まだ保形形式の係数にどういう数学的意味が含まれているか僕はわかりませんが、実際に非可換なガロア群と対応できる保形形式は見つかってるそうです。ということはこれがラングランズの応用。非可換なアーベル群の文化の様子を調べる理論ってことじゃないでしょうか???(勉強したことをまとめた上での推測です