Hecke作用素についてのまとめ

数論の表現論の応用についてよくわからなかったから図書館で資料を調べて見たら多少わかるようになった。この記事ではHecke作用素のことをノートに取ったことをまとめたり(今から調べて)まとめて見ようとおもう。(恐らく次にSelberg跡公式やLanglands予想についてまとめるとしよう。

 

Hecke作用素よりも前にMordell作用素があったのかな、その前にラマヌジャン予想があって、これは結構定義だけ見たら無味乾燥としてて「うーん」ってなった思い出がある。モチベーションがあんまりわからないっていうか、「あっそう」ってなるよね、まあこれが今日数論に今日まで関わる重要な問題(そして結構面白いステートメントであるんだけど)

ところで今まで(一昨日まで)勘違いしていたことだけどL関数って別にゼータ関数の一般化なんかじゃなくてL-seriseから定義される級数のことでζ関数って言うのはEuler積を持ってたり、関数等式を満たしたり、(確か堀田体論のヴェイユ予想のところに書かれてたんだけど)リーマン予想を満たしたり〜って条件があってやっとζファミリーの仲間入りできるんだと。f:id:No_Longer_Human0723:20170314212232j:image

まあそれで、現代整数論は保型形式ってものを調べるのが主流なんだけどラマヌジャンは保型L関数っていうクラスを一番初めに作った人らしい、要するに保型形式からL関数を構成をしたことなんだって。普通に保型形式の係数の部分をL関数のanに対応させただけのシンプルなやつ。ラマヌジャンのL関数っていうのはググったらわかる24乗のモジュラー関数をL関数の係数にしたやつなんだけど、それのτってのが凄い性質を持ってる。

ラマヌジャン予想その1、τは乗法的であるτは完全乗法的では無い人類史上初二次係数のオイラー積の誕生である。

まあラマヌジャンがこのL関数を見つけたのも人のなせる技ではないのだけど

{\displaystyle L(s,\tau )=\prod _{p}{\biggl (}1-{\frac {\tau (p)}{p^{s}}}+{\frac {1}{p^{2s-11}}}{\biggr )}^{-1}.}

τ(2)^2=576 τ(4)=−1472 で完全乗法的では無いことはすぐに分かるのだけど

τ(2)−τ(4)=2048=2^11

τ(3)=63504 τ(9)=−113643

τ(3)−τ(9)=177147=3^11

 11で割り切れるんだ、凄いね、じゃあ8だと?…

τ(8)=84480 τ(2)τ(4)=35328

なのでその差は49152、この数字は2^11で割り切れる、しかも商が24=−τ(2)なんだよね、これでこんな等式の予想が立てられる

τ(p^j+1)=τ(p)τ(p^j)−p^11τ(p^j−1)

だって、すごくね??ところで僕は早くモーデル作用素のところに移りたいんですけど、この説明だけでも書くこと結構多いですね。この辺で切り上げてモーデル作用素移ろうかな?案外早いうちにこのラマヌジャン予想は解けました、(どっちかというと雑魚、最後の一人が佐藤テイト予想とか今日に至るまでの深淵な一般化されたラマヌジャン予想とかがまあワラワラとでてヤバイやつの引き金になってるんだけど)ヤバイやつの引き金って言ったらリーマン予想(ヴェイユ予想)ね、ヴェイユ予想でも十分ヤバくて当時最先端の代数幾何学をバンバン使って証明したんだよね、ミニチュアのゼータ関数でのリーマン予想を、ヴェイユ予想と同値な方のラマヌジャン予想もそれだけで十分ヤバイ予想(強い予想)だけど一般化された方はリーマン予想級にヤバそうなんだよね。所詮両方ミニチュアってことか…

モーデルの証明は24乗の式をq=e^2πizとみなすことでzの複素関数とみなす(つまりはモジュラー)とみなすことで成功したらしい。ヘッケ作用素と言うのはfを正則モジュラー関数(マース波動形式??)としてそれのフーリエ変換をf=Σanq^nと置いたときにTnf=am fとなるような作用素のことである。(らしい???後で訂正するかも)作用素って名前だから無限次元の行列だし固有値を取ってるイメージ。モーデルはこれの特殊なやつでラマヌジャンのΔ(z)関数に対して MpΔ(z)=τ(p)Δ(z)を証明したらしい、関係ないけど関数解析に関係あるかもね??フーリエ変換が使われてるけどこれはフーリエ変換は代数的にみるとトーラス上のユニタリ作用素の表現論なんでもしかすると(興味ある本だけどこんなのに更に保型関数から群上に一般化された構造を持ってるかもしれない

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内容は知らないけど、フーリエ変換で引っかかった、ポアソン和(フーリエ変換の公式)も(そのうち書くけど群上で一般化されて)更には非可換な群上でも一般化されるので割りと本質的な考え方なのかもしれない)

結論から厳密なヘッケ作用素の定義を出します。

整数値フーリエ係数を持つならばヘッケ作用素

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となる、(余談だけどヘッケ作用素の成す環はヘッケ環って言うんだけどアレはよくわからない、勉強するしか無さそう

 

 

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H1=Γと定義、f:H→Cを正則モジュラー関数と言い演算をこう定義する

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補題1.

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まあこれは簡単なので証明はしません。

 

再定義:今のところはウェイトが2kのモジュラー関数に対してヘッケ作用素をこう定義します。

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補題2.この作用素はwell-definedである。

対応の仕方を二通り考える、MiとM'iで違う対応の仕方があってΓの元の違いで一意に決まる(前回の証明省いちゃったけどそこを見たらわかる。)そっから適当に計算したらでる。

 

補題3.

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補題2を使えば自明

このTを一般化したものを考える、 

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これらの成すEndmorphismの環をヘッケ環と言う(実はもっと厳密な群論的な定義、群の畳み込みの定義と誘導表現からされる定義があるんだけど僕もよくわからないのでとりあえずこれをヘッケ環とすることにします。このブログではモチベーションのわかりやすさを重視してます。

 

定理1.

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 モチベーションのわかりやすさを重視ししてるので言いますがこれはラマヌジャン予想の1番目と2番めの式と近い形ですね。

 

定理2.