Subscribed unsubscribe Subscribe Subscribe

G-構造(群コホモロジー、幾何学的構造)

クライン流の視点をリーマン幾何を含む形で拡張したものがCartanのG構造の幾何です。ユークリッド空間R^nとそれに作用するリー群Gの組(G,R^n)に対しn次元多様体MのG構造とはMの接束TMの構造群GL(n,R)のGへの簡約のことです。つまりMの開被覆を取って接束TMを自明束の貼り合わせとして表すときに変換関数の値をGにとることです、スピン群のようにGL(n,R)の部分群出ない場合は持ち上げる形になります、代表的なのがG=GL+(n,R)、O(n),GL(n/2,C)がありそれぞれ向き付けられた多様体、リーマン多様体、概複素多様体となります、G構造はテンソル場によって特徴付けられてそれはそれぞれ体積形式(どこでもゼロにならない最高次の微分形式)、リーマン軽量(至る所正定値な2階の対称テンソル)、概複素構造となります、更に重要な概念が積分可能性でリーマン多様体が平坦なのはリーマン曲率テンソルがゼロのときで概複素構造が積分可能なときはNIJENUISテンソルがゼロのときです。(リーマン多様体がR^nの開集合を等長写像で貼り合わせれるとき平坦多様体とよばれます、複素多様体はC^nと双正則な写像で貼り合わせて得られます(双正則は微分同相に比べると硬いですが等長よりは柔らかいです。

ここで話を変えてG-集合の話にします、(特にG-群)Γを任意の群としてφ:G×Γ→ΓであるがΓは群なので群構造を反映させるためにφ(s,xy)=φ(s,x)φ(s,y)を加えこれをG-群と言います、これの不動点を0次のコホモロジー集合と呼びます。(なぜそう呼ぶのかは少し後に説明します)コサイクルを導入して写像 c:G→Γがコサイクルとはc(s)(s)・c(t)とし共役類に入ってたらコサイクルの同値とする。コサイクルの集合を一次のコホモロジーと呼びます。群作用が自明なときH0(G,Γ)=Γでc(st)=c(t)となり準同型の写像と一致します。

G-加群はアーベル群に定義される加群で集合は圏となるので(射はf(gx)=g(f(x))と(群の要素gと加群の要素xについて定義されます)MからG不変のMの集合への射はG-加群からアーベル群への関手を定義します。

コチェイン複体で定義するとd^n+1:Cn(G,M)→Cn+1(G,M)で、Cn(G,M)とはG^nからMへのすべての写像で(ただしn=0のときはM自身)d^n+1(φ(g1…gn+1))=g1φ(g2…gn+1)+Σ(-1)^iφ(g1…gi-1,gi+1…gn+1)+(-1)^n+1^φ(g1…gn)でこれはちゃんとしたコチェイン複体になってます。確かにこの定義だと不動点になりますね。

後EXT関手でも定義されるみたいです。群環Z[G]を左G-加群だと見なして長完全系列

Z[G^i]→Z[G^i-1]…→Zをd:(g1…gn)→Σ(-1)^i(g1…gi-1,gi+1…gn)^)が作れて、更に

Z[G]加群N,Mに関してHomG(N,M)はアーベル群でHom(-,A)は矢印の向きを保存する反変関手

f:id:deep_blueiIBM:20170409145834p:plain

こういう完全系列が作れて、H^n(G,M)=H^n(Hom(Z[G],M))=Ext(Z,M)と定義できます。(これは一般の射影加群にも定義されます。

Hom(Z[G],A)とC^n(G,M)は同型です。ガロアコホモロジーは群コホモロジーの一種です(連続な、Kurll位相の入ったやつです。群ホモロジーなる概念もあるそうですがこれはTorで定義される見たいですね。

ところで最近表現論とHopf代数について勉強したんですがまだ記事にできてません。頑張って記事にしなければ。(メモですけどHopf代数も群環ですね、大事な概念っぽいです

とここからは具体的な対称で話したいと思います

lを奇素数としてξ=e^2πi/lとしK=Q(ξ)、R=OkをKの整数環、GをK/Qのガロア群としてみます。R=Z[ξ]≡Z^l-1でG≡Fl☓なのでs・ξ=ξ^sがなりたちます。でガロア群の作用はルジャンドル指標には自明なのでルジャンドル指標はG-群のコサイクルとなり、0次コホモロジーはMc={x∈R;x=λl(x)}となります、そこでx=Σxtξ^tと書いてsを作用させるとs・x=Σxtξ^st=Σxs^-1tξ^tとなります。ここでx∈Mc、cをルジャンドル指標とするとΣxtξ^t=x=λl(s)=Σλl(s)xs^-1tξ^tとなりxt=λl(s)xs^-1tとなってs=tと置けばxt=λ(t)x1となります。同様にしていくとx=x1Σλl(t)ξ^tでガウス和になりますね。ということでガウス和もある種の「保型性」を持つことがわかります。

じゃあ本物の保型関数のようなものの例としてモジュラー群を考えます。Hを上半平面、R=O(H)(Hで定義された正則関数の環とします)で群の作用をs・x(τ)=x(s^-1τ)=x(aτ+b/cτ+d)で決めます。c(s)=1/(cτ+d)^4はコサイクルとなります(計算してみたらわかります)で、このコサイクルでのガウス和の類似はアイゼンシュタイン級数のもっとも簡単なものとなります。別のコサイクルからテータ関数も出てきます。この2つの和のアイデアを統一したものがポアンカレ和と言われるものになります。

 

表現論1 ガウス和とルジャンドル多項式

表現論を使って初等整数論であるガウスの相互律とラプラス方程式の関係性について述べて行きたいと思います。前提知識は初等整数論調和解析、後は少しの幾何の知識です(初等整数論はあまりなくてもいけますがあったほうが内容にしたしくなれます。

 

 

1.球面上の多項式

 

S^n-1上のRに値を取る関数は

f:S^n-1→Rとなる写像のことですがこれはn変数の多項式を球面上に制限したものと一致しますこの集合をP(R^n)、P(S^n-1)となって環になります。写像の制限から短い完全系列

0→Kerρ→P(R^n)→P(S^n-1)→0 となります。(なんか式の雰囲気的にホモロジー代数的にいい解釈ができそうですね。もし名前があったら教えてください)

nで考えることは容易なのでここからn=2で続けます。f(x,y)=ΣAx^λy^μのx、yにcosθ、sinθを代入してすべて自然対数で考えるとF(θ)=Σce^ivθの形になります。この形はFourier展開と同じです。

n=3ならばf(x,y,z)=ΣAx^λy^μz^hとなりx,y,zに二次元球面の式を代入するとF(θ,φ)=ΣAsinθ^λ+μcosθ^hcos^λsinφ^μとなりn=2のときの指数関数の類似がわからなくなります。このために通常のR^3上の多項式P(R^3)=⊕Pl(R^3)とします。Plはl次の斉次式です。次にラプラシアンで消えるH(R^3)を同じようにH(R^3)=⊕Hl(R^3)とします。すると興味深いことにρ:P(R^3)→P(S^2)→0はH(R^3)に制限しても全射になります。(H(R^3)→P(S^2)→0。つまり球面上の多項式はすべて調和多項式から得られます。更に平面の調和関数と球面の調和関数の環は同型でP(S^2)=⊕Hl(S^2)となりPl(cosθ)、cosmφsinθ^mPl_m(cosθ) sinmφsin^mPl_m(cosθ)がHl(S^2)の基底となります(ここでPl_m=(d/dt)^mPでP=1/2^l*l!(d/dt)^l(t-1)^lです。

 

2.modPでのフーリエ変換

Gを位数Nの有限アーベル群だとしてG上で定義される関数全体をL(G)とかきます。これはC上ベクトル空間です。

定理1.Gが位数Nのアーベル群ならL(G)はN次元。

証明

特性関数fx(y)=δxyとして見るとこれが任意の関数を表すことはわかる(単に全てにその関数をかけたらいいだけ)独立はΣg(x)fx(x)=0とすればすべてのxに対して成り立つのでg(x)=0。

 

内積を(f,g)=Σx∈Gf(x)g(x)/N(ただし青文字のgはgの複素共役とします。この内積を持つ空間はヒルベルト空間となります。ここで指標を定義します

χ:G→C^☓

これは明らかに群です。そしてこの指標が今紹介したヒルベルト空間の正規直交基底となります。

証明

Gが巡回群の場合はポントリャーギン双対より同じ位数の巡回群になります。一般のアーベル群なら巡回群の直積(アーベル群の生成定理)と同型なので指標群全体も位数が同じ、よって次元が同じだとわかります。ここでχの性質を証明します。

命題1.

Σx∈G χ(x)=N(もしχが単位指標なら、それ以外なら0)

示すのは簡単ですべてのxについて和を取ってるのでA=Σχ(x)=Σχ(y)χ(x)=χ(y)Aなので成立します。これから直交性がさっきの内積で出ます。独立はΣcχ=0とすると0=(0,χ)=Σcχ'(χ',χ)=cχ'なので示されます。modpのフーリエ解析とはL(Fp+)L(Fp×)でのフーリエ変換で、それぞれ元はp個とp-1個です。なので制限写像を使うと完全系列が生まれ

0→Kerρ→L(Fp+)→L(Fp☓)→0となりKerではFp☓のすべての点で0になります。ここで加法的指標を制限して乗法的指標で書くことを考えます。ρ(φ)=Σcχ、cχ=(ρ(φ),χ)(各要素ごとに射影してる)となります。これは実は自然対数のテイラー展開によく似ています。φ(x+y)=φ(x)φ(y)、χ(xy)=χ(x)χ(y)でφ(x)=e^x、χn=x^nと考えれば一種のフーリエ展開となり係数は1/Γ(n)となります。この考えでcをガンマ関数のアナロジーと安直ながら考えてみます、e^xのmodpでのアナロジーはフェルマーの小定理よりξとなりますが自己双対性がなりたちます。なのでφ(x)=ξ^axでフーリエ係数cはΣx∈Fp☓ ξ^axχ(x)/p-1となります(青のχは複素共役です)これのp-1をなくし、複素共役を取らなくしたものをΣξ^axχ(x)としこれをガウス和と呼びます。

 

3.初等整数論

Z/Zpでは方程式ax^2+bx+cの解は判別式b^2-4acが非平方かつ0以外なら0個、平方かつ0以外なら2個、0なら1個です。(平方完成したらでます。)任意のこの方程式はx^2=aとなります。ここでルジャンドル指標を導入します

λ_p(a)={1,a∈(F_p×)^2、-1,a∉(F_p×)^2)}これはアーベル群の指標です。

証明

Fp×は巡回群なのでrを生成元として(原始元の存在と同値です。)a=r^ν(a)と書くとν(a)はmodp-1で決まるのでaが平方⇆ν(a)が偶数となり、λp(a)=(-1)^ν(a)です。またab=r^ν(ab)=r^ν(a)r^ν(b)=r^ν(a)+ν(b)よりν(ab)=ν(a)+ν(b)がわかります。従ってλp(ab)=(-1)^ν(ab)=(-1)^ν(a)+(-1)^ν(b)=λp(a)λp(b)となり指標となることが示せました。

定理1.第1充填補充則

λp(a)=a^(p-1)/2

(-1)^ν(a)=a^(p-1)/2を示したらよくてFp×でrは生成元だからr^p-1=1、p-1は偶数だからr^(p-1)/2=-1(位数p-1なので。)これをν(a)乗して(-1)^ν(a)=(r^(p-1)/2)^ν(a)=(r^ν(a))^(p-1/2)=a^(p-1)/2となり示せました。

λp(-1)=(-1)^(p-1)/2

定理2.

λp(2)=(-1)^(p^2-1)/8

証明

ξ=e^2πi/8とすると、ξ^4=-1よりξ^2+ξ^-2=0、τ=ξ+ξ^-1とするとτ^2=2、なのでτ^(p-1)=(τ^2)^(p-1)/2=2^(p-1)/2=λp(2)なのでλp(2)τ=τ^p=ξ^p+ξ^-pとなります。p=±1(mod8)の時はτとなり±3の時は-τとなります。そこでω=p^2-1/8とすれば(-1)^ωτ=λp(2)τにτをかけてみると題意が示されます。

 

定理3.ガウスの相互律

p、qを異なる素数とする時、p=(-1)^(p-1)/2として

λp(p)=λq(p*)

証明の前に、表現という目で見ると二つの違う素数が関係性をお互いに見出しそうとしてるように見えてすごく素敵じゃ無いですかね?不思議な関係性に見えます。ガウス和を用いた指標の証明です。

γ_a(χ)=Σχ(x)ξ^axをaとχによるガウス和と呼びます。ξがゼロでないとき

命題1.γ_a(x)=χ(a)γ(χ)(ここのχを複素共役の形にすること)となります。なぜならχ(a)γ_a(χ)=γ(χ)なので。なりたちます。

 

γ(χ)γ(χ(複素共役))=χ(-1)pで特にχ=λ_pならγ(λ_p)^2=p*

S=Σ|γ_a(χ)|^2=Σγ_a(χ)γ_a(χ)(γが共役)を二通りで計算して、1からχ(a)(共役)γ(χ)χ(a)γ(χ)(共役とすると)(p-1)|γ|^2

次にγ_a(χ)γ_a(χ)(共役)=Σχ(x)ξ^^axΣχ(y)(共役)ξ^-ax=Σχ(xy^-1)ξ^a(x-y)=(Σχ(xy^-1))(Σξ^a(x-y)-1)(最後の和はFp全体の和でそれ以外はFp×に関する和)ξは指標となってるのでx=yの時はp、それ以外は0で、χは単位指標じゃないのでΣχ(xy^-1)=(Σχ(x))(Σχ(y))(共役)=0だからS=pΣχ(1)=p(p-1)より二つの式を合わせたら|γ(χ)|^2=pとなります。γ(χ)(共役)=Σχ(x)共役ξ^-x=Σχ(-x)ξ^x=χ(-1)Σχ(x)(共役)ξ^x=χ(-1)γ(χ(共役))となります。第1充填補充則の系から示されます。

さて相互律の証明ですが、

γ(λp)^q-1=(γ(λp)^2)^(p-1)/2=p*^(q-1)/2=λ_q(p*)なので両方にγ(λp)をかけてγ(λp)^q=λq(p*)γ(λp)でガウス和の定義に戻ってγ(λp)^q=γ_q(λp)となりますので、λp(q)=λq(p*)となります。(命題1を使いました。)

ガウス和(正確にはヤコビ和)の応用に作図問題があります。円と直線を組み合わせてどの点が作図可能かです。平面に{0,1}があれば有理数をすべて作図できることは簡単にわかります(三角形の相似を使います。)で方程式の解から(円の方程式と直線の方程式の交点から)作図可能な点は2^n次代数拡大だとわかります。

ヤコビ和を導入します。J(χ,φ) =Σχ(x)φ(y)でx+y=1の成分全部にとってます。これはガウス和でγ(χ)γ(φ)/γ(χφ)となります(簡単に計算したらわかります。ヤコビ和は指標χに対してγ^m(χ)=χ(-1)J(χ,χ)...J(χ,χ^m-1)という式にまとめられます(簡単なので書きません)

ここでヤコビ和を用いた重要な定理を書きます。

定理.2以外の素数でξp=e^2πi/pでξpが作図可能⇆pがフェルマー

→は自明なので←を証明します。

γ(χ)=Σχ(x)ξ^xで、すべての指標についてガウス和を取るとΣγ(χ)=ΣΣχ(x)ξ^xとなります。ここでxについてのχの和を取るとかΣχ(x)={p-1 x=1、0 それ以外}となります。(GとGの指標の双対性を利用した方法です。Gの指標の双対はGなので。)Σγ(χ)=(p-1)ξpとなりガウス和の作図可能性がξの作図可能性に言い換えることに成功しました。単位指標とルジャンドル指標については作図可能は自明に言えます。ルジャンドル指標は唯一の位数2の元です。ところでヤコビ和は乗法的指標しか定義に使ってないのでJ(χ,χ^j)ふくむQ(ξp-1)=Q(ξ2^m)で作図可能。Fp×の双対は位数p-1の巡回群なので各χの位数は2のナントカ乗です。これとさっきの積公式を使えばヤコビ和は作図可能なので同様にガウス和の作図可能も言えます。

^::::::

セルバーグ跡公式について

1.ポアソン和公式

 

セルバーグ跡公式とは非可換なポアソン和公式です。f:id:deep_blueiIBM:20170326202847p:imageポアソン和を説明してるイカ娘の画像
 f:id:deep_blueiIBM:20170326213342j:image

 f:id:deep_blueiIBM:20170326213230j:image

f:id:deep_blueiIBM:20170326220440j:imagef:id:deep_blueiIBM:20170326220445j:imagef:id:deep_blueiIBM:20170326220450j:image

という風にまあポアソン和公式はスゴイ公式をかんたんに見つけれる公式です。代数的整数論ゼータ関数関連でもよく使われます(この記事はゼータ関数関係なんですけど残念ながら代数的な整数論じゃないんですね〜(解析的整数論でもない、強いて言うならゼータ関数論)で、このポアソン和公式は数論ではたくさんの派生があるんですね、例えばFourier解析の自然な一般化で局所コンパクトアーベル群でのポアソン和公式とか、でそれのある到達点がセルバーグ跡公式なわけです。(数学にありがちなんですが一般化が始まった時点で終わりじゃなくて新たな始まりなんですね)(余談ですがセルバーグがコンパクトな双曲曲面の跡公式を出したのが1956年でヤンミルズ場の方程式が出たのが1954年で近いんですよね、この時期に非可換な群を応用する動きが始まって来たと考えたら感慨深いです。ポアソン和公式もマクスウェル方程式も19世紀ですよね。人類の偉大な進捗が感じれて感慨深いです。

 

ポアソン和公式とはそもそもなんじゃ?って話になると思うんですが(えっ?もしかするとならない??)これは無限次元の行列で(対角成分の和)=(固有値の和)をやったものです。というわけで一度ポアソン和公式とか跡公式とか全部忘れて行列の話にしましょう♪

 

2.無限次元行列の跡公式

有限次元だとあまり面白みがない例しかないので無限次元行列で具体的な跡公式の例を考えましょう。有限体F_pの代数閉包に作用するp乗フロベニウス写像にどう作用するかを考えます。f:id:deep_blueiIBM:20170326232516j:image

これは一般の素数べき元体にも言えます。つまりF_p^2体は{A^2の固定点の集合}と考えれます。xをAでの固定点では無いと考えるとある最小多項式を考えれてそれにフロベニウス写像を考えると固定点では無いという過程より共役元に移ったと考えれてるって議論ですね。位数2の巡回群をベクトル空間だと考えて行列で表すとこうなります。

f:id:deep_blueiIBM:20170326233445j:image

対角成分をZで表します

f:id:deep_blueiIBM:20170326233310j:image

f:id:deep_blueiIBM:20170326233313j:image

これを3の時も同様に考えていくと最終的にAの雰囲気がわかってくると思います。これの対角成分との和と固有値の和が等しいことを示したいんですが、それを説明する前に少し脱線してヴェイユ予想の話をしたいと思います。(すぐ終わります。ラマヌジャン予想とヴェイユ予想は「いつもは難解な代数側の問題を解析側に翻訳して解いてたけど今回は解析の難解な問題を代数側で解いた。」というラングランズ哲学的に重要な話です。この跡公式はラマヌジャン予想とヴェイユ予想の類似がわかりやすくでてます。)それはゼータ関数の極、ゼロ点の固有値解釈です。

 

2.5 固有値解釈

ゼータ関数の極やゼロ点を固有値だと初めて解釈したのはポリヤだと言われてます(あの名著「いかにして問題を解くか」の著者です。)

f:id:deep_blueiIBM:20170326204834j:plain

 で、この人は「あるエルミート作用素を見つけることによってリーマン予想を解決できるんじゃね?」ってことを考えました。具体例としては合同ゼータ関数の行列表示ですね。この場合はフロベニウス作用素がエルミート作用素の代わりになってます。

f:id:deep_blueiIBM:20170327120237j:image

Euler積っぽいですね〜

この考え方を抽象化したのが力学系ゼータ関数になりフロベニウス作用素が置換行列になってて、別の表示だとζ_σ(a)=exp(Σ|Fix(σ^m)|e^-ms/m)=det(I-M(σ)e^-s)^-1となります。合同ゼータ関数と比べてみるとζ_A(s)=exp(Σ|Hom(A,F_p^m)|p^-ms/m)...似てる気がする?...(ちなみに固定点はトレースを使って表されるみたいです。今議論してるのはp乗フロベニウス写像なので固定点がトレースに一致する話と同じですね、これがさらに一般化されてLefshetz trace fomulaになったりするんでしょうか)

 

 閑話休題、話を戻して、フロベニウス作用素のトレース和がpなことはすぐに分かります。固有値は普通det(λI-A)の解の方を言うんですが今回は逆数をuと置きdet(I-Au)=Πdet(I_jk(j)-Aju)=Πdet(I_j-Z_ju)^k(j)なので固有値は1のj乗根となり固有値の和もpとなり等式が成立します。(k(j)はj次のF_p上既約な多項式の数のことです。)

 

ポアソン和公式を無限次元の行列の跡公式だと考えましょう。まず縦ベクトルを連続無限次元にしたら一変数の関数になります(一変数の関数にベクトルが対応するイメージ)すると二変数の関数が行列になるのがわかります。

Lf(z)=∫k(z,z')f(z')dz'の積分作用素を考えます。ここでkに条件をつけます。ちなみに積分範囲は不変被覆空間全体です。

「1.k(z,z')ら差z-z'のみによる(つまりある一変数関数で表される)

2.k(z,z')はΓ-不変。つまりk(z,z')=k(gz,gz')

3.fもΓ-不変」

条件1.はLを行列と考えるとAの成分がi-jのみによると言い換えることができます。hが偶関数なら対称行列です。

条件2.と3.は不変被覆空間上の関数であるだけでなく基本領域上の関数であると言い換えれます。(ここでは不変被覆空間を基本群で割ったものを基本領域と定義します。)基本領域の元zと基本群の元を用いて不変被覆空間の元は一意にz'=γzと表されるので元の式はLf(z)=Σγ∈Γ∫k(z,γz')f(γz')dz'となります。そして基本領域上ではz~γzなので対角成分の和はz=z'に限定した和となります。

ここで不変被覆空間をR、基本群をZとするとΣγ∈Z∫1_0k(z,z+γ)となり条件1よりk(z,z+γ)=h(γ)なので積分zによらずΣh(γ)となります。固有値はhの全体の和をフーリエ展開して適当な計算したらf(x)=e^-2πimzが固有関数だとわかるので一番初めの和公式の議論を使えばポアソン和公式がでます。これが跡公式としての和公式です。

 

3.セルバーグ跡公式

Γ⊂SL(2,R)で群モジュラー群の作用を定義して、X内に固定点を持つ行列を楕円型(おっきい文字)とし(判別式が負、-2<a+d<2と同値)X内に固定点を持たないで境界である実軸内に二つの固定点を持つのを双極型と言い(判別式が正、|a+d|>2と同値)それ以外を放物型といいます。(ただし単位行列とその-1倍は除きます)ここで群に関する命題があります。

定理n 基本領域が面積有限とすると部分群Γが持つ元と基本領域の間には次の関係が成り立つ。

Γは必ず双曲の元をもつ

楕円形の元を持たなければ基本領域は滑らかである

放物型の元をもてば基本領域はコンパクトでない。

 

ということで今回は簡単のため双曲型の元しか持たない群を考えます。

後X(空間)についても制約を課します。Xは複素上半平面で二点間の距離を

 log*1とします。この距離では二点間を結ぶ最短経路が中心が実軸上にある円周となります。こっからの仕組みは少しわかりませんが(メモとして)u(d)=coshd-1/2に距離関数を入れると|z-w|^2/4ImzImwと綺麗に表せるらしいです。なのでさっきの跡公式の条件でいう二点間の差をこっちで定義して(単調増加関数であるからdの大小をこっちでも測れるみたいです、見た感じx軸が小さいところでは見た目より長く、x軸が大きいところでは見た目より小さく定義されみたいです)hの関数に入れるみたいです。(詳しくはこれを読むこと)https://www.google.com/amp/s/thatsmaths.com/2013/10/11/poincares-half-plane-model/amp/ 

 

 

 

4.セルバーグ・ゼータ関数とセルバーグ予想

*1:|z-w*|+|z-w|)/(|z-w*|-|z-w|

非可換類体論とは

ブログの記事にある今や数論の中心に位置する一大プロジェクト保型形式とゼータ関数の不思議な関係、非可換類体論についてわかったことをまとめます。まだまだ整数論初心者なので逆に非可換類体論について教えてくれる人は教えてください。

1.類体論とは?

類体論はある人に言わせれば「数論の一つの頂き」と言われます。とても美しい調和の取れた理論として有名で高木・Artinによって1920年頃一応解決されました。元のモチベーションはGaussの平方剰余の定理まで遡ります。類体論は簡単に言えば素イデアルの分岐を調べる理論でそれを代数方程式として(具体的に)解釈すると立法剰余の法則や相互法則が出てきます。しかし「ガロア群が可換」の場合しか示されてないんですね。その意味では人類はまだ類体論を攻略してません。

 

2.志村谷山予想とは?

フェルマーの最終定理と関係する予想(定理)として有名な志村谷山予想がありますがそれは実は2次元の非可換類体論だと考えることができます。

まず正則保型形式というものを考えるのですが、保型形式の定義はこのブログで先にしてるはずなのでそこを参照してください。関数が上半平面に定義されて正則かつフーリエ級数f(q)=Σanq^nを持つものを正則保型形式と言いますが、これのL関数をΣan/n^nと定義します。

一方楕円曲線を観察してmodpでの解…例えばy^2=x^3+1における解の個数をn(p)と定義をしてみます。すると…qΠ(1-q^6n)^4のp次の係数がp-n(p)となります。楕円曲線という全く関係ない対象と保型形式(今の仰々しい式は保型形式です。)の中に不思議な対応があります。この関係はアイヒラーによって見つけられました。(この関係式は悪い素数を除いて成り立ちます。)

これを数学的に定式化すると、楕円関数のゼータ関数が必要になってきます。これは二次元のゼータ関数

f:id:No_Longer_Human0723:20170321223413p:plain

こういう式になります。この保型形式のL関数の一致と楕円関数のゼータ関数の一致がとどのつまり志村谷山予想です。ゼータ関数が志村谷山予想に使われたのは「楕円関数の解の係数を持つ保型形式」と言っても調べようが無いから、わかりやすく、ゼータ関数を使ってるのでは無いでしょうか?(詳細はわかりません

3.表現論とは

結論から言うと現代数論ではゼータ関数が重要なものでいかにしてゼータという対象に帰着できるかにかかってます。志村谷山予想もそうですが問題をゼータに直してわかりやすくしています。ということは古典的な類体論ゼータ関数にまとめられるのではないか?という考えが思い浮かんでも不思議では無いでしょう。その等式を作るのがここで言う表現論の役割です。

ここで古典類体論を統一的なゼータ関数や表現論的なperspectiveで考えてみたいと思います。まずQ上の整数論を考えてみます。ここで言う表現とは指標のことです。指標とは群から体への写像のことでここでは単位的な指標のみを扱うこととします。Qの最大アーベル拡大のガロア群をG→K(これはKの単数群)だとしたらこれを一次元ガロア表現と言います(単数群はその体の自己同型写像)。有理数体はQの最大アーベル拡大はクロネッカーウェイバーの定理によってQ(μ)の集合と同型と考えれます。そのQ(μN)は(Z/N)の単数群の集合と同型(円分体の基本定理)。なので最大アーベル拡大は整数環の副有限完備化の単数群と同型ですが、整数環に定義される指標といえばディリクレ指標なのでこの関係式は「ガロア群の表現とディリクレ指標の一対一対応」と考えることができます。詳しく言うとΠ1/1−(a/p)p=Σλ(n)/n^nが二次体のガロア表現と保型表現の対応になるみたいです。

 類体論の骨組みは代数体上アーベル拡大のガロア群がイデール類群と同型になるような写像を作れるということでした。(イデールはアデールの可逆元の集合でアデールはある体のp進付値で完備化したものをぜんぶくっつけたものです。よくわからないならZに対するRみたいなもので(イメージは全然違いますが任意の体に(位相的に見てZとRの関係性に似たような関係を持つ)体を定義したようなものです。)とにかくデカイ体だということを認識してくれたら大丈夫です。物理的にも重要な環らしいです。通常)。アデール群の一般線形群が保型表現では重要になりますが1次元の場合はイデール群となりラングランズ予想で出て来るアデールの一般線形群と一次元類体論と整合がつきます。通常のイデール群はQの可逆元の集合、Zの副有限完備化の可逆元の集合、R>0の可逆元の集合に直積分解でき、類体論の基本定理はイデール群のQとR>0の可逆元の剰余群(イデール類群)に最大アーベル拡大は同型だという主張のことです。イデール類群のCの可逆元のへの指標の集合をヘッケ指標だと言い、これがさっき注意したZの副有限完備化の単数群の集合を経由する場合にはディリクレ指標になります。

l進ガロア群の重要さは古典的アーベル拡大の理論から来てるのだと思います。自然にl進数に射影できるし

4.ラングランズ予想とは

Langlands予想とは簡単に言えば「n次の良いEuler積は全てGLnの保型L関数である。という予想であって、ここで良いとは全s平面に有理型に解析接続できてs⇔1-sという型の関数等式をもつこと」らしい(数論Ⅱより)。このGL群はアデール上の一般線形群のことを指すのだと思います。の保型形式論では行列群の整数係数部分群、所謂モジュラー群が重要になって来るんですが、ラングランズ予想は一般の体係数の行列群をそのモジュラー群と見てアデール上の保型形式を考えること、そのアデール係数行列群からの右正則表現の部分表現のことらしいです。(どんな部分表現かは理解してません。英語のpdfでも探してみてください。

 一方ガロア表現の定義はK を体とし,GK を K の絶対 Galois 群E を 複素数体 C,p進体(Qp の有限次拡大、有限体のいずれかとし、V を体 E 上の有限 次元ベクトル空間として、K の Galois 表現とは,連続準同形 ρ: Gal(K/K) −→ GL(V ) のことです。

 そしてなぜ志村谷山予想がラングランズプログラムの一部かというと楕円曲線Eのl分点の群E[l]をQの絶対ガロア群の表現として考えて保形形式と結びつけて考えたからみたいです。これは僕の考察ですがKを標数pの体としてE→Eの自己同型写像を整数Nに対してN倍写像と定義されていているのでl^n分点アーベル群を逆極限とった加群がTate加群ってことなのかな?おそらくだけど楕円曲線は「いい素数」だけを見たくて、そのいい素数の集合で考えるのが便利との発想でl進数で考えてるのかな?

5.非可換類体論とは

予想ですけど多分楕円曲線ガロア群が得られてmodpの解をモジュラー関数の係数(母関数だと)見たのと同じように、最小多項式をモジュラー関数の係数だと考えればmodpでイデアルの分岐の様子がわかるのが非可換類体論だということじゃないでしょうか?まだ保形形式の係数にどういう数学的意味が含まれているか僕はわかりませんが、実際に非可換なガロア群と対応できる保形形式は見つかってるそうです。ということはこれがラングランズの応用。非可換なアーベル群の文化の様子を調べる理論ってことじゃないでしょうか???(勉強したことをまとめた上での推測です

Hecke作用素についてのまとめ

数論の表現論の応用についてよくわからなかったから図書館で資料を調べて見たら多少わかるようになった。この記事ではHecke作用素のことをノートに取ったことをまとめたり(今から調べて)まとめて見ようとおもう。(恐らく次にSelberg跡公式やLanglands予想についてまとめるとしよう。

 

Hecke作用素よりも前にMordell作用素があったのかな、その前にラマヌジャン予想があって、これは結構定義だけ見たら無味乾燥としてて「うーん」ってなった思い出がある。モチベーションがあんまりわからないっていうか、「あっそう」ってなるよね、まあこれが今日数論に今日まで関わる重要な問題(そして結構面白いステートメントであるんだけど)

ところで今まで(一昨日まで)勘違いしていたことだけどL関数って別にゼータ関数の一般化なんかじゃなくてL-seriseから定義される級数のことでζ関数って言うのはEuler積を持ってたり、関数等式を満たしたり、(確か堀田体論のヴェイユ予想のところに書かれてたんだけど)リーマン予想を満たしたり〜って条件があってやっとζファミリーの仲間入りできるんだと。f:id:No_Longer_Human0723:20170314212232j:image

まあそれで、現代整数論は保型形式ってものを調べるのが主流なんだけどラマヌジャンは保型L関数っていうクラスを一番初めに作った人らしい、要するに保型形式からL関数を構成をしたことなんだって。普通に保型形式の係数の部分をL関数のanに対応させただけのシンプルなやつ。ラマヌジャンのL関数っていうのはググったらわかる24乗のモジュラー関数をL関数の係数にしたやつなんだけど、それのτってのが凄い性質を持ってる。

ラマヌジャン予想その1、τは乗法的であるτは完全乗法的では無い人類史上初二次係数のオイラー積の誕生である。

まあラマヌジャンがこのL関数を見つけたのも人のなせる技ではないのだけど

{\displaystyle L(s,\tau )=\prod _{p}{\biggl (}1-{\frac {\tau (p)}{p^{s}}}+{\frac {1}{p^{2s-11}}}{\biggr )}^{-1}.}

τ(2)^2=576 τ(4)=−1472 で完全乗法的では無いことはすぐに分かるのだけど

τ(2)−τ(4)=2048=2^11

τ(3)=63504 τ(9)=−113643

τ(3)−τ(9)=177147=3^11

 11で割り切れるんだ、凄いね、じゃあ8だと?…

τ(8)=84480 τ(2)τ(4)=35328

なのでその差は49152、この数字は2^11で割り切れる、しかも商が24=−τ(2)なんだよね、これでこんな等式の予想が立てられる

τ(p^j+1)=τ(p)τ(p^j)−p^11τ(p^j−1)

だって、すごくね??ところで僕は早くモーデル作用素のところに移りたいんですけど、この説明だけでも書くこと結構多いですね。この辺で切り上げてモーデル作用素移ろうかな?案外早いうちにこのラマヌジャン予想は解けました、(どっちかというと雑魚、最後の一人が佐藤テイト予想とか今日に至るまでの深淵な一般化されたラマヌジャン予想とかがまあワラワラとでてヤバイやつの引き金になってるんだけど)ヤバイやつの引き金って言ったらリーマン予想(ヴェイユ予想)ね、ヴェイユ予想でも十分ヤバくて当時最先端の代数幾何学をバンバン使って証明したんだよね、ミニチュアのゼータ関数でのリーマン予想を、ヴェイユ予想と同値な方のラマヌジャン予想もそれだけで十分ヤバイ予想(強い予想)だけど一般化された方はリーマン予想級にヤバそうなんだよね。所詮両方ミニチュアってことか…

モーデルの証明は24乗の式をq=e^2πizとみなすことでzの複素関数とみなす(つまりはモジュラー)とみなすことで成功したらしい。ヘッケ作用素と言うのはfを正則モジュラー関数(マース波動形式??)としてそれのフーリエ変換をf=Σanq^nと置いたときにTnf=am fとなるような作用素のことである。(らしい???後で訂正するかも)作用素って名前だから無限次元の行列だし固有値を取ってるイメージ。モーデルはこれの特殊なやつでラマヌジャンのΔ(z)関数に対して MpΔ(z)=τ(p)Δ(z)を証明したらしい、関係ないけど関数解析に関係あるかもね??フーリエ変換が使われてるけどこれはフーリエ変換は代数的にみるとトーラス上のユニタリ作用素の表現論なんでもしかすると(興味ある本だけどこんなのに更に保型関数から群上に一般化された構造を持ってるかもしれない

f:id:No_Longer_Human0723:20170315095629j:plain

内容は知らないけど、フーリエ変換で引っかかった、ポアソン和(フーリエ変換の公式)も(そのうち書くけど群上で一般化されて)更には非可換な群上でも一般化されるので割りと本質的な考え方なのかもしれない)

結論から厳密なヘッケ作用素の定義を出します。

整数値フーリエ係数を持つならばヘッケ作用素

f:id:No_Longer_Human0723:20170315100335p:plain

となる、(余談だけどヘッケ作用素の成す環はヘッケ環って言うんだけどアレはよくわからない、勉強するしか無さそう

 

 

f:id:No_Longer_Human0723:20170315101838p:plain

H1=Γと定義、f:H→Cを正則モジュラー関数と言い演算をこう定義する

f:id:No_Longer_Human0723:20170315101919p:plain

補題1.

f:id:No_Longer_Human0723:20170315102340p:plain

まあこれは簡単なので証明はしません。

 

再定義:今のところはウェイトが2kのモジュラー関数に対してヘッケ作用素をこう定義します。

f:id:No_Longer_Human0723:20170315103803p:plain

補題2.この作用素はwell-definedである。

対応の仕方を二通り考える、MiとM'iで違う対応の仕方があってΓの元の違いで一意に決まる(前回の証明省いちゃったけどそこを見たらわかる。)そっから適当に計算したらでる。

 

補題3.

f:id:No_Longer_Human0723:20170315105738p:plain

補題2を使えば自明

このTを一般化したものを考える、 

f:id:No_Longer_Human0723:20170315121112p:plain

これらの成すEndmorphismの環をヘッケ環と言う(実はもっと厳密な群論的な定義、群の畳み込みの定義と誘導表現からされる定義があるんだけど僕もよくわからないのでとりあえずこれをヘッケ環とすることにします。このブログではモチベーションのわかりやすさを重視してます。

 

定理1.

f:id:No_Longer_Human0723:20170315121041p:plain

 モチベーションのわかりやすさを重視ししてるので言いますがこれはラマヌジャン予想の1番目と2番めの式と近い形ですね。

 

定理2.